10. Témazáró dolgozat (Kinematika)

1. Alapvető mozgásformák

• Egyenes vonalú egyenletes mozgás
• Egyenes vonalú szakaszonként egyenletes mozgás
• Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás nulla kezdősebességgel
• Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás v0 kezdősebességgel
• Egyenletes körmozgás
• Bolygómozgás

2. Egyenes vonalú egyenletes mozgás

Jellemzők
1. megtett út: s [m]
2. eltelt idő: t [s]
3. sebesség: v [m/s]
Képlet: v = s/t
Módosított képletek:
s = v*t
t = s/v

3. Egyenes vonalú szakaszonként egyenletes mozgás

Jellemzők és képletek:
1. összes út: s_ö = s_1 + s_2
2. összes idő: t_ö = t_1 + t_2
3. átlagsebesség: vá = sö/tö

4. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás nulla kezdősebességgel

Jellemzők:
1. gyorsulás: a [m/s^2]
Képletek:
a = v/t
v = a*t
t = v/a
s = v*t/2
s = a*t^2/2 (négyzetes út törvény)
s = v^2/(2*a)

5. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás v0 kezdősebességgel

Jellemzők:
1. kezdősebesség: v0 [m/s]
Képletek:
a = (v - v_0)/t
v = v_0 + a*t
s = (v_0 + v)*t/2
s = v_0*t + a*t^2/2

6. Egyenletes körmozgás

Jellemzők:
1. fordulatok száma: n [-]
2. fordulatszám: f [1/s]
3. körülfordulási idő: T [s]

4. sugár: r [m]
5. átmérő: d [m]
6. körkerület: K [m]
7. körív: i [m]
8. szögelfordulás: alfa [radián]
9. kerületi sebesség: v_k [m/s]
10. szögesebesség: omega [1/s]
11. centripetális gyorsulás: a_(cp) [m/s^2]
12. tangenciális gyorsulás: a_(tg) [m/s^2]
13. szöggyorsulás: beta [1/s^2]
Képletek:
d = 2*r
K = 2*r*pi
i = r*alfa
f = n/t
T = 1/f
omega = alfa/t = 2*pi/T = 2*pi*f
v_k = i/t = r*omega = 2*pi*r/T = 2*r*pi*f
a_(cp) = v_k^2/r = r*omega^2 = v*omega

7. Bolygómozgás

Jellemzők:
1. Keringési idő: T [év]
2. Átlagos vezérsugár: r [Csillagászati Egység]
Képlet: T^2/r^3 = 1

Igaz-hamis állítások

NÉV: PONT:
Igaz-hamis állítások:

Ssz.	Állítás	Igaz	Hamis	?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

9. Bolygómozgás

1. Matematikai alapok:

A. Kör: olyan pontok összessége a síkon, amelyek egy adott ponttól (középponttól) egyenlő távolságra (sugár) vannak.

B. Ellipszis: olyan pontok összessége a síkon, amelyeknek két adott ponttól (fókuszponttól) mért távolságok összege állandó.

2. Világképek összehasonlítása:

A. Földközéppontú (geocentrikus) világkép:
Hirdetői:

• Arisztotelész
• Ptolemaiosz

B. Napközéppontú (heliocentrikus) világkép:
Hirdetői:

• Kopernikusz (a bolygók a Nap körül kör alakú pályákon keringenek)
• Galilei (kiáll Kopernikusz nézetei mellett)
• Tycho Brahe (mérési táblázatokat készít a bolygók mozgásáról)
• Kepler (a bolygók a Nap körül ellipszis alakú pályákon keringenek)

C. Semmilyen középpontú világkép:
Hirdetői:

• Bruno (a Nap nem a középpontja a Világegyetemnek)

3. A Naprendszer bolygói:

• Merkúr = Mercurius (hírnök, a tolvajok istene)
• Vénusz (Szépség és szerelem istennője = Esthajnal csillag, fényes)
• Föld
• Mars (Hadisten = vörös színű)
• Jupiter (Főisten = nagy méretű)
• Szaturnusz (Jupiter apja, az idő istene)
• Uránusz (az ég istene = kék színű)
• Neptunusz (a tenger istene = kék színű)
• Plútó (az alvilág istene)

4. Kepler-törvények:

1. A bolygók a Nap körül olyan ellipszis alakú pályán keringenek, amelynek az egyik fókuszpontja a Nap.

2. A Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő időnként egyenlő területeket súrol (területi sebesség állandó).
Más szavakkal: A bolygók napközelben gyorsabban mozognak.

Táblázat:

Bolygó	T(év)	r(CSE)
Merkúr	0,241	0,387
Vénusz	0,615	0,723
Föld	1	1
Mars	1,881	1,523
Jupiter	11,86	5,2
Szaturnusz	29,46	9,54
Uránusz	84,01	19,22
Neptunusz	161,7	30,11
Plútó	248,9	39,58

3. A keringési idő négyzete egyenesen arányos a Naptól mért átlagos távolság köbével.
T²/r³ = állandó
Ha T-t években, r-et pedig csillagászati egységben mérjük, akkor:
T²/r³ = 1
Más szavakkal: A Naphoz közelebb keringő bolygók gyorsabban keringenek.

5. Feladatok:

1. Mekkora a r = 10CsE távolságra keringő bolygó keringési ideje?
                T²/1000 = 1
                T = √1000 = 31,6 év

2. Mekkora távolságban kering az a bolygó, amelynek a keringési ideje T = 10 év?
                100/r³ = 1
                r = ³√100 = 4,64CsE

Igaz-hamis állítások

NÉV:
Azonosító:
PONT:
Igaz-hamis állítások:

Ssz.	Állítás	Igaz	Hamis	?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

8. Egyenletes körmozgásra vonatkozó feladatok

1. MINTAFELADATOK

1. Feladat:

Egy kerékpár kerekének átmérője 26” (1” = 2,54cm).
Ha 75 tekeréshez 38s szükséges, akkor mekkora a kerékpár kerekének periódusideje és fordulatszáma?

Adatok:
d = 26" = 26*2,54 cm = 66,04cm
n = 75
t = 38s
f = ?
T = ?

Képletek:
 f = n/t
 T = 1/f

Számolások:
f = n/t = 75/38 = 1,97 1/s
T = 1/f = 1/1,97 = 0,5087s

---

2. Feladat:

Egy kerékpár kerekének átmérője 26” (1” = 2,54cm).
1m út megtételéhez mekkora szögelfordulás szükséges?

Adatok:
i = 1m = 100 cm
d = 26" = 26*2,54 cm = 66,04cm
r = ?
α = ?
α° = ?

Képletek:
 d = 2*r → r = d/2
 i = r*α → α = i/r
 α = 3,14/180°*α° → α° = 180/3,14*α

Számolások:
r = d/2 = 66,04/2 = 33,02cm
α = i/r = 100/33,02 = 3,0285
α° = 180/3,14*α = 180/3,14*3,0285 = 173,6°

---

3. Feladat:

Egy kerékpár kerekének átmérője 26” (1” = 2,54cm).
A kerékpár sebessége 15km/h.
Mennyi idő alatt tesz meg a kerék 1 fordulatot?

Adatok:
r = 13” = 33,02cm = 0,3302m
v = 15km/h = 4,1667m/s
ω = ?
T = ?

Képletek:
 v = r*ω → ω = v/r
 ω = 2*3,14/T = 6,28/T → T = 6,28/ω

Számolások:
ω = v/r = 4,1667/0,3302 = 12,6186 1/s
T = 6,28/ω = 6,28/12,6186 = 0,5s

---

4. Feladat:

Egyenletes körmozgás esetén
d = 40cm = 0,4m
α° = 60°
t = 1,2s
r = ?; α = ?; i = ?; ω = ?; v = ?; f = ?; T = ?; a_cp = ?

Megoldás:

r = d/2	= 0,4/2	= 0,2m
α = (α°/360°)*2*π	= (60°/360°)*2*3,14	= 1,047
i = r*α	= 0,2*1,047	= 0,2094m
v = i/t	= 0,2094/1,2	= 0,1745 m/s
ω = v/r	= 0,1745/0,2	= 0,8725 1/s
f = ω/(2*π)	= 0,8725/6,28	= 0,1389 1/s
T = 1/f	= 1/0,1389	= 7,1977s
acp = v*ω	= 0,1745*0,8725	= 0,1523m/s²

---

5. Feladat:

Egyenletes körmozgás esetén
r = 2,5m
n = 1200
t = 2min = 120s
f = ?; T = ?; ω = ?; v = ?; i = ?; α = ?; a_cp = ?

Megoldás:

f = n/t	= 1200/120	= 10 1/s
T = 1/f	= 1/10	= 0,1 s
ω = 2*π/T	= 6,28/0,1	= 62,8 1/s
v = r*ω	= 2,5*62,8	= 157 m/s
i = v*t	= 157*120	= 18840m
α = i/r	= 18840/2,5	= 7536
acp = v*ω	= 62,8*157	= 9859,6 m/s²

---

6. Feladat:

Mikor kerülnek fedésbe az óramutatók 2 és 3 óra között?

ω_nagy = 2π/1 (1/h)
ω_kicsi = 2π/12 (1/h)
α = ω*t
(2π/1 - 2π/12)*t = 2*2π
11/12*t = 2
t = 2*12/11 = 2,18 h = 2h és 11min

---

TESZTFELADATOK

Egyenletes körmozgás

1. Feladat:

Egy kerékpár kerekének átmérője 26” (1” = 2,54cm).
Ha 75 tekeréshez 38s szükséges, akkor mekkora a kerékpár kerekének periódusideje és fordulatszáma?

Adatok:
d = cm
n =
t = s
f = 1/s
T = s

Max p.	Kapott p.
3 pont

---

2. Feladat:

Egy kerékpár kerekének átmérője 26” (1” = 2,54cm).
1m út megtételéhez mekkora szögelfordulás szükséges?

Adatok:
i = cm
d = cm
r = cm
α =
α° = °

Max p.	Kapott p.
5 pont

---

3. Feladat:

Egy kerékpár kerekének átmérője 26” (1” = 2,54cm).
A kerékpár sebessége 15km/h.
Mennyi idő alatt tesz meg a kerék 1 fordulatot?

Adatok:
r = m
v = m/s
ω = 1/s
T = s

Max p.	Kapott p.
4 pont

---

4. Feladat:

Egyenletes körmozgás esetén
d = 40cm = m
α° = 60°
t = 1,2s
r = m
α =
i = m
v = m/s
ω = 1/s
f = 1/s
T = s
a_cp = m/s²

Max p.	Kapott p.
9 pont

---

5. Feladat:

Egyenletes körmozgás esetén
r = 2,5m
n = 1200
t = 2min = s
f = 1/s
T = s
ω = 1/s
v = m/s
i = m
α =
a_cp = m/s²

Max p.	Kapott p.
8 pont

---

6. Feladat:

Mikor kerülnek fedésbe az óramutatók 2 és 3 óra között?
t = óra perckor

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

Körmozgás

NÉV:
Azonosító:
EREDMÉNY:

Ssz:	Max p.	Kap p.	Par.	Bemenet
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Össz

7. Egyenletes körmozgás

1. Az egyenletes körmozgás fogalma:

Egyenletes körmozgásról akkor beszélünk, ha

• A pályagörbe alakja: körív
• Egyenlő idők alatt a test ugyanakkora utakat (köríveket) tesz meg.

Példák egyenletes körmozgásra:

2. Az egyenletes körmozgás jellemzői:

1. BLOKK = mért és számított mozgásadatok

1. fordulatok száma =
kezdet kezdetén rögzített adat, pl. 10 teljes fordulat idejét mérjük

• jele: n 
• mértékegysége: (-, azaz fordulat)

2. eltelt idő =
adott számú teljes fordulatok megtételéhez szükséges idő (mérhető adat)

• jele: t    
• mértékegysége: (s)

---

3. fordulatszám (frekvencia) =1s alatt megtett teljes fordulatok száma (számított érték)

• jele: f  
• mértékegysége: (1/s = Hz)
• Képlete: f = n/t

4. körülfordulási idő (periódusidő) =
egy teljes kör megtételéhez szükséges idő (számított érték)

• jele: T
• mértékegysége: (s)
• Képlete: T = 1/f 

 Az f és a T reciprok viszonyban van egymással!

2. BLOKK: A kör(cikk) jellemzői

1. kör sugara =

• jele: r (rádiusz)
• mértékegysége: (m)

2. kör átmérője =

• jele: d (diaméter)
• mértékegysége: (m)
• Képlete: d = 2·r

3. kör kerülete =

• jele: K
• mértékegysége: (m)
• Képlete: K = 2·r·π

---

4. szögelfordulás =

• jele: α (φ = fí)   
• α° = fokban mért érték
• mértékegysége: (°, vagy radián)
• Képlete: α = (α°/360°)·2·π

5. megtett út (ív) =

• jele: i
• mértékegysége: (m)
• Képlete: i = r·α

3. BLOKK: sebességek és gyorsulások

1. kerületi sebesség =

• jele: v, vagy vk (velocitász)
• mértékegysége: (m/s)
• Képletek: v = i/t

2. szögsebesség =

• jele: ω (kis ómega)
• mértékegysége: 1/s
• az egységnyi sugarú körpályához tartozó kerületi sebesség
• Képletek: ω = α/t
• v = r·ω
• ω = 2·π/T = 2·π·f

---

3. gyorsulás =

• jele: a (akceleráció)
• mértékegysége: m/s²
• összetevői: a sugárirányú és az érintőirányú gyorsulás-összetevő

4. sugárirányú (centripetális) gyorsulás = a_cp

• a sebességvektor irányváltozásából származik
• Képletek: a_cp = v²/r = ω²·r = v·ω

5. érintőirányú (normális, tangenciális) összetevő = a_n

• a sebesség nagyságának változásából származik
• Képletek: a_n = 0 (egyenletes körmozgás esetén)
• a² = a_cp² + a_n² (Pitagórasz-tétel)

6. szöggyorsulás = ß

• a sebesség nagyságának változásából származik.
• egyenletes körmozgás esetén: ß = 0

3. Jellemző mennyiségek mértékegységek szerint:

mértékegység nélküli:	n, α
méterben mért:	r, d, K, i
fokban mért:	α°
szekundumban mért:	t, T
1/s-ban mért:	f, ω
m/s-ban mért:	v
m/s²-ben mért:	a, an, acp
1/s²-ben mért:	β

7. Egyenletes körmozgás (Igaz-hamis állítások)

NÉV:
Azonosító:
PONT:

Ssz.	Állítás	Igaz	Hamis	?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

6. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásra vonatkozó feladatok

1. Gyűjtsük össze a gyorsuló mozgásra vonatkozó képleteket!

1. Gyorsulás meghatározása:

`a = v/t`
`v = a*t`
`t = v/a`

Csacsi háromszög:
   v
-     -
a  ·  t

2. Az út meghatározása:

`s=(v*t)/2`
`s=1/2*a*t^2`
`s=v^2/(2*a)`

Ügyeljünk a mértékegységekre:

• [s] = m
• [t] = s
• `[v] = m/s`
• `[a] = m/s^2`

---

2. Oldjuk meg a képletalkalmazásra vonatkozó alapfeladatokat!

1. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
a = 2 m/s²
t = 3 s
v = ?
s = ?

Képletek, számítások:
`color(red)(v = a·t) = 2*3 = 6m/s`
`color(blue)(s = 1/2*a*t^2) = 0,5*2*9 = 9m`

---

2. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
a = 2 m/s²
v = 6 m/s

t = ?
s = ?

Képletek, számítások:
`color(red)(t = v/a) = 6/2 = 3m/s`
`color(blue)(s = v^2/(2*a)) = 36/(2*2) = 9m`

---

3. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
a = 2 m/s²
s = 9 m
t = ?
v = ?

Képletek, számítások:

`s = 1/2*a*t^2`
 `color(red)(t = sqrt((2*s)/a)) = sqrt((2*9)/2) = 3s`
`s = v^2/(2*a)`
 `color(blue)(v = sqrt(2*a*s)) = sqrt(2*2*9) = 6m/s`

---

4. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
v = 6 m/s
t = 3 s
a = ?
s = ?

Képletek, számítások:
`a = color(red)(v/t) = 6/3 = 2m/s^2`
`s = color(blue)((v*t)/2) = (6*3)/2 = 9m`

---

5. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
v = 6 m/s
s = 9 m
t = ?
a = ?

Képletek, számítások:
`s = (v*t)/2`
 `color(red)(t = (2*s)/v) = (2*9)/6 = 3 s`
`s=v^2/(2*a)`
 `color(blue)(a = v^2/(2*s)) = 6^2/(2*9) = 2 m/s^2`

---

6. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
s = 9 m
t = 3 s
v = ?
a = ?

Képletek, számítások:
`s = (v*t)/2`
 `color(red)(v = (2*s)/t) = (2*9)/3 = 6 m/s`
`s=1/2*a*t^2`
 `color(blue)(a = (2*s)/t^2) = (2*9)/3^2 = 2s`

---

Gyakorló feladatok:

1. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
a = 2 m/s²
t = 3 s
v = m/s
s = m

Max p.	Kapott p.
4 pont

---

2. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
a = 2 m/s²
v = 6 m/s

t = s
s = m

Max p.	Kapott p.
4 pont

---

3. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
a = 2 m/s²
s = 9 m
t = s
v = m/s

Max p.	Kapott p.
4 pont

---

4. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
v = 6 m/s
t = 3 s
a = m/s²
s = m

Max p.	Kapott p.
4 pont

---

5. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
v = 6 m/s
s = 9 m
t = s
a = m/s²

Max p.	Kapott p.
4 pont

---

6. Gyorsuló mozgás esetén:
Adatok:
s = 9 m
t = 3 s
v = m/s
a = m/s²

Max p.	Kapott p.
4 pont

---

Gyorsulás

NÉV:
EREDMÉNY:

Ssz:	Max p.	Kap p.	Par.	Bemenet
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Össz